Олимпиадные задачи из источника «1974 год» для 2-8 класса - сложность 3 с решениями
Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
На плоскости расположено<i>N</i>точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
Найдите наименьшее число вида а) |11<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; б) |36<sup><i>k</i></sup> – 5<sup><i>n</i></sup>|; в) |53<sup><i>k</i></sup> – 37<sup><i>n</i></sup>|, где <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
Для всякого ли натурального <i>n</i> можно расставить первые <i>n</i> натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – <i>n×n</i>, где <i>n</i> > 3)?
В городе одна синяя площадь и <i>n</i> зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2<i>n</i> улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73799/problem_73799_img_2.gif"></div>
Назовём <i>квартетом</i> четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
а) квадрате 5×5;
б) прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73794/problem_73794_img_2.gif"></div>
Дано<i>n</i>фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не<nobr>более <i>n</i>/2.</nobr>Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Даны два набора из <i>n</i> вещественных чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i>. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из <i>a<sub>i</sub> < a<sub>j</sub></i> следует, что <i>b<sub>i</sub> ≤ b<sub>j</sub></i>;
б) из <i>a<sub>i</sub> < a < a<sub>j</sub></i>, где <i>a</i> = <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (<i>a</i...
<i> n </i>отрезков<i> A<sub>1</sub> B<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> B<sub>2</sub> </i>,<i> ... </i>,<i> A<sub>n</sub> B<sub>n</sub> </i>(рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку<i> G </i>(не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> ... </i>,<i> A<sub>n</sub> </i>. Докажите, что <center><i>
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-me...
Сумма 3<sup>1974</sup> + 5<sup>1974</sup> делится на 13. Докажите это.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, причём <i>BP = BQ</i>. Пусть <i>H</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>B</i> на отрезок <i>PC</i>. Докажите, что угол <i>DHQ</i> – прямой.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центрам описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей.
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки <i>M</i> окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.