Рассмотрим всевозможные расстояния между заданнымиNточками и выберем среди этих расстояний наибольшее — пусть это расстояние между какими-то двумя точкамиAиB. Соединим точкуAс остальнымиN− 1 точками; получимN− 1 отрезков. Середины этих отрезков различны и все лежат внутри или на границе круга с центром в точкеAрадиуса${\frac{1}{2}}$|AB|. Аналогично, соединив точкуBс оставшимисяN− 1 точками, получимN− 1 отмеченных точек (середин), расположенных внутри или на границе круга того же радиуса с центром в точкеB. Построенные два круга имеют только одну общую точку — середину отрезкаAB. Следовательно, всегда имеется по крайней мере 2 ( N − 1 ) − 1 (так как середину отрезками мы учитываем дважды) отмеченных середин, то есть не менее (2N− 3) отмеченных точек. Покажем, что 2N− 3 — это наименьшее число отмеченных точек. Пусть заданныеNточек лежат на одной прямой, причём расстояния между соседними точками одинаковы. Легко видеть, что в этом случае число отмеченных точек — середин равно (N− 2) +N− 1 = 2N− 3. Тем самым всё доказано.

Ответ задачи отсутствует