Задача
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Решение
Лемма. Если M, P и Q – три произвольные точки данной окружности, то расстояние MK от точки M до прямой PQ равно среднему геометрическому расстояний ML и MN от M до касательных, проведённых в точках P и Q: MK² = ML·MN. (1)
Доказательство. Будем считать, что M не совпадает с P или Q (в вырожденном случае равенство очевидно).
Представим себе, что точки P и Q зафиксированы, а M передвигается по окружности. При любом её положении углы MPL и MQK (не превосходящие, разумеется, 90°) равны по величине: каждый из них измеряется половиной дуги PM (не превосходящей полуокружности), поэтому прямоугольные треугольники MPL и MQK подобны и ML : MK = MP : MQ. (2)
(Это равенство, очевидно, сохраняется и в том случае, когда прямоугольные треугольники вырождаются в отрезки – в этот момент точка M диаметрально противоположна P.)
Точно так же доказывается, что MN : MK = MQ : MP. (3)
Из (2) и (3) следует (1). Осталось применить лемму к точке M окружности и к каждой стороне PQ вписанного многоугольника, а затем перемножить все равенства вида (1).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь