Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 3-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)

С четырёх сторон шахматной доски размером <i>n×n</i> построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда  <i>n</i> – 1  кратно 4.

Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

Докажите, что если для чисел <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, <i>q</i>₁ и <i>q</i>₂ выполнено неравенство  (<i>q</i>₁ – <i>q</i>₂)² + (<i>p</i>₁ – <i>p</i>₂)(<i>p</i>₁<i>q</i>₂ – <i>p</i>₂<i>q</i>₁) < 0,  то квадратные трёхчлены

<i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁  и  <i>x</i&...

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i>₂<i>B</i>₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂,... какое-то число встретиться...

Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а...

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком  <i>n</i> > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Пусть<i>l</i>₁,<i>l</i>₂, ...,<nobr><i>l</i>_<i>n</i> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i>₁,<i>X</i>₂, ...,<i>X</i>_<i>n</i>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i>_<i>k</i>в точке<i>X</i>_<i>k</i>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...

<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...

На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади <i>K</i>.

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.

Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что

<i>AB = AC</i>.  Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что  <i>AR = AS</i>.