Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 2-8 класса - сложность 2 с решениями

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i>²+<i>b</i>²> 5<i>c</i>², то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3. </div>

<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>- длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>(<i>b</i> - <i>c</i>)² + <i>b</i>(<i>c</i> - <i>a</i>)² + <i>c</i>(<i>a</i> - <i>b</i>)² + 4<i>abc</i> > <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³. </div>

При любом натуральном <i>n</i>из чисел <i>a</i>ⁿ,<i>b</i>ⁿи <i>c</i>ⁿможно составить треугольник. Докажите, что среди чисел <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>есть два равных.

Даны <i>n</i>точек <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nи окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку <i>M</i>так, что <i>MA</i>₁+ ... +<i>MA</i>_n$\geq$<i>n</i>.

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Пусть <i>ABCD</i> – выпуклый четырехугольник. Докажите, что  <i>AB</i> + <i>CD</i> < <i>AC</i> + <i>BD</i>.

Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.