Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Правильные многоугольники» для 2-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Докажите, что если число <i>n</i> не является степенью простого числа, то существует выпуклый <i>n</i>-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., <i>n</i>, все углы которого равны.

а) Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса 1 с центром <i>O</i>;  <i><b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_2.gif">,  <i><b>u</b></i> – произвольный вектор.

Докажите, что   <img width="21" height="31" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_3.gif">(<i><b>u</b>, <b>e</b>_i</i>)<i><b>e</b&g...

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i>;  <i>X</i> – точка этой окружности. Докажите, что  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57087/problem_57087_img_2.gif">

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного <i>n</i>-угольника на любую прямую равна  ½ <i>na</i>²,  где <i>a</i> – сторона <i>n</i>-угольника.

Расстояние от точки <i>X</i> до центра правильного <i>n</i>-угольника равно <i>d</i>, <i>r</i> – радиус вписанной окружности <i>n</i>-угольника.

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки <i>X</i> до прямых, содержащих стороны <i>n</i>-угольника, равна  <i>n</i>(<i>r</i>² + ½ <i>d</i>²).

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса <i>R</i>, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_<i>n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O,   <b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_2.gif">,  <i><b>x</b></i> = <img width="31" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_3.gif">  – произвольный вектор.

Докажите, что   Σ (<i><b>e</b>_i, <b>x</b></i>)² =...

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки <i>X</i> до вершин правильного <i>n</i>-угольника будет наименьшей, если <i>X</i> – центр <i>n</i>-угольника.

Правильный многоугольник  <i>A</i>₁...<i>A</i>_<i>n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, <i>X</i> — произвольная точка.

Докажите, что   <i>A</i>₁<i>X</i>² + ... + <i>A</i>_<i>n</i><i>X</i>² = <i>n</i>(<i>R</i>² + <i>d</i>²),  где  <i>d = OX</i>.

Точка <i>A</i> лежит внутри правильного десятиугольника <i>X</i>₁...<i>X</i>₁₀, а точка <i>B</i> — вне его. Пусть  <b><i>a</i></b> = <img width="38" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_2.gif"> + ... + <img width="38" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_3.gif">  и  <b><i>b</i></b> = <img width="39" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57079/problem_57079_img_4...

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 6  правильный (<i>n</i>–1)-угольник нельзя так вписать в правильный <i>n</i>-угольник, чтобы на всех сторонах <i>n</i>-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (<i>n</i>–1)-угольника.

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

В правильном <i>n</i>-угольнике  (<i>n</i> ≥ 3)  отмечены середины всех сторон и диагоналей.

Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?

В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i>₀...<i>A</i>₁₇ проведены диагонали <i>A</i>₀<i>A</i>_<i>p</i>+3, <i>A</i>_<i>p</i>+1<i>A</i>_{18–<i>r</i>} и <i>A</i>₁<i>A</i>_{<i>p</i>+<i>q</i>+3}.

Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:

  а)  {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},

  б)  {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.

Правильный (4<i>k</i>+2)-угольник вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>.

Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   <i>A_kOA</i>_<i>k</i>+1 на прямых   <i>A</i>₁<i>A</i>_2<i>k</i>, <i>A</i>₂<i>A</i>_{2<i>k</i>–1}, ..., <i>A_kA</i>_<i>k</i>+1,  равна <i>R</i>.

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> построены внутренним образом правильные треугольники <i>ABK, BCL, CDM</i> и <i>DAN</i>. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков <i>KL, LM, MN</i> и <i>NK</i> образуют правильный двенадцатиугольник.

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).

Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57068/problem_57068_img_2.gif" border="1"></div>

Все углы выпуклого многоугольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> равны, и из некоторой его внутренней точки <i>O</i> все стороны видны под равными углами.

Докажите, что этот многоугольник правильный.

Число сторон многоугольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> нечётно. Докажите, что:

  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;

  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">