Задача
В правильном n-угольнике (n ≥ 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?
Решение
Рассмотрим два случая.
1) n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m – 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1 + 2(m – 1) = 2m – 1 = n – 1 отмеченных точек.
2) n = 2m + 1. Диагонали и стороны правильного (2m+1)-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n – 1 отмеченных точек.
В обоих случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.
Ответ
n точек.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь