Задача
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
Решение
а) Пусть O – центр описанной окружности. Так как ∠AkOAk+2 = 360° – 2∠AkAk+1Ak+2 = φ – постоянная величина, то при повороте с центром O на угол φ точка Ak переходит в Ak+2. Для нечётного n из этого следует, что все стороны многоугольника A1...An равны. б) Пусть a – длина стороны данного многоугольника. Если одна из его сторон делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длины x и a – x, то соседние с ней стороны тоже делятся на отрезки длины x и a – x (смежные отрезки соседних сторон равны) и т. д. Для нечётного n из этого следует, что все стороны A1...An делятся точками касания с вписанной окружностью пополам, а значит, все его углы равны.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь