Пусть правильный  (n–1)-угольник  B₁...B_n–1 вписан в правильный n-угольник  A₁...A_n. Можно считать, что  A₁ и  B₁ – наименее удаленные друг от друга вершины этих многоугольников и точки B₂, B₃, B₄ и B₅ лежат на сторонах  A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅  и  A₅A₆.  Пусть  α_i = ∠A_i+1B_iB_i+1  и  βi = ∠B_iB_i+1A_i+1,  где  i = 1, 2, 3, 4.  По теореме синусов  A₂B₂ : B₁B₂ = sin α₁ : sin φ  и  B₂A₃ : B₂B₃ = sin β₂ : sin φ,  где φ – угол при вершине правильного n-угольника. Следовательно,     где a_n и a_n–1 – стороны данных многоугольников.

  Из аналогичных вычислений следует, что  sin α₁ + sin β₂ = sin α₂ + sin β₃ = sin α₃ + sin β₄.  Заметим, что

Так как  α_i+ β_i=^2π/_n  и  α_i+1+ β_i=^2π/_(n–1),   то  α_i+1= α_i+^2π/_n(n–1)  и  β_i+1= β_i–^2π/_n(n–1),  а значит,  α_i+ β_i+1=–  – величина постоянная и α_i– β_i+1= α_i–1– β_i+^4π/_n(n–1).  Следовательно,    для  θ = ½ (α₁– β₂).  Противоречие: на интервале, меньшем 2π, косинус не может принимать одно значение в трёх различных точках.

Ответ задачи отсутствует