Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего» для 5-9 класса - сложность 4-5 с решениями
Дан выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника<i>A</i><sub>i</sub><i>A</i><sub>i + 1</sub><i>A</i><sub>i + 2</sub>содержит весь многоугольник.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.
На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной$\sqrt{3}$.
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$4 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трех из них найдется четвертая (тоже из данных), с которой они образуют вершины параллелограмма, то<i>n</i>= 4.
На столе расположено <i>n</i>картонных и <i>n</i>пластмассовых квадратов, причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?
На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.
На плоскости даны 2<i>n</i>+ 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что <i>n</i>из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а <i>n</i> — вне ее.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
Докажите, что если центр вписанной окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырехугольник — ромб.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если периметры треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
На плоскости дано <i>n</i>точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2<i>n</i>- 3.
На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).
Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом <i>k</i>, где 0 <<i>k</i>< 1.
а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/$\sqrt{3}$. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что если длины отрезков<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>не превосходят 1, то площадь треугольника<i>ABC</i>не превосходит1/$\sqrt{3}$.
Внутри остроугольного треугольника взята точка <i>P</i>. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки <i>P</i>до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от <i>P</i>до его сторон.