Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Поворот на 60 градусов» для 9 класса

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника<i>ABCDEF</i>внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, причем<i>AB</i>=<i>CD</i>=<i>EF</i>=<i>R</i>. Докажите, что середины сторон<i>BC</i>,<i>DE</i>и <i>FA</i>образуют правильный треугольник.

Даны точка<i>X</i>и правильный треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и<i>XC</i>можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка<i>X</i>лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>(Помпею).

а) Для данного треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. б) Внутри треугольника<i>ABC</i>, все углы которого меньше 120^<tt>o</tt>, взята точка <i>O</i>, из которой его стороны видны под углом 120^<tt>o</tt>. Докажите, что сумма расстояний от точки <i>O</i>до вершин равна(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/2 + 2$\sqrt{3}$<i>S</i>.

Правильные треугольники<i>ABC</i>,<i>CDE</i>,<i>EHK</i>(вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник<i>BHD</i>тоже правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC'</i>и <i>AB'C</i>. Точка <i>M</i>делит сторону<i>BC</i>в отношении<i>BM</i>:<i>MC</i>= 3 : 1;<i>K</i>и <i>L</i> — середины сторон<i>AC'</i>и <i>B'C</i>. Докажите, что углы треугольника<i>KLM</i>равны 30^<tt>o</tt>,60^<tt>o</tt>и 90^<tt>o</tt>.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>ABC</i>₁,<i>AB</i>₁<i>C</i>и <i>A</i>₁<i>BC</i>. Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — середины отрезков<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.

На сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>правильного треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>AC</i>,<i>E</i> — середина отрезка<i>AN</i>,<i>D</i> — центр треугольника<i>BMN</i>. Найдите величины углов треугольника<i>CDE</i>.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>CD</i>и <i>DE</i>правильного шестиугольника<i>ABCDEF</i>,<i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>AM</i>и <i>BN</i>. а) Найдите величину угла между прямыми<i>AM</i>и <i>BN</i>. б) Докажите, что<i>S</i>_ABP=<i>S</i>_MDNP.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>правильный,<i>K</i>и <i>M</i> — середины отрезков<i>BD</i>и <i>EF</i>. Докажите, что треугольник<i>AMK</i>правильный.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри правильного треугольника<i>ABC</i>, для которых<i>MA</i>²=<i>MB</i>²+<i>MC</i>².

На сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>построены внешним образом правильные треугольники<i>BCP</i>и <i>CDQ</i>. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.

Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники<i>PKM</i>, вершина <i>P</i>которых фиксирована, а вершина <i>K</i>лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин <i>M</i>.

Постройте равносторонний треугольник<i>ABC</i>так, чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.

На отрезке<i>AE</i>по одну сторону от него построены равносторонние треугольники<i>ABC</i>и <i>CDE</i>;<i>M</i>и <i>P</i> — середины отрезков<i>AD</i>и <i>BE</i>. Докажите, что треугольник<i>CPM</i>равносторонний.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>A</i>₁<i>BC</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>и<i>ABC</i>₁. Докажите, что<i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>CC</i>₁.

На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что  <i>AP = BP + CP</i>.