Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Параллельный перенос» для 8 класса
глава 15. Параллельный перенос
НазадВнутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>. Докажите, что ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.
Угол, изготовленный из прозрачного материала, двигают так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внутренним образом. Докажите, что на нем можно отметить точку, которая описывает дугу окружности.
Найдите геометрическое место точек: а) сумма; б) разность расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.
Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.
а) Даны окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>, пересекающиеся в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Проведите через точку <i>A</i>прямую <i>l</i>так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>, имел данную длину. б) Впишите в данный треугольник<i>ABC</i>треугольник, равный данному треугольнику<i>PQR</i>.
Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>по четырем углам и длинам сторон<i>AB</i>=<i>a</i>и <i>CD</i>=<i>b</i>.
Даны непересекающиеся хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности. Постройте точку <i>X</i>окружности так, чтобы хорды<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на хорде<i>CD</i>отрезок<i>EF</i>, имеющий данную длину <i>a</i>.
Даны две окружности <i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>и прямая <i>l</i>. Проведите прямую <i>l</i><sub>1</sub>, параллельную прямой <i>l</i>, так, чтобы: а) расстояние между точками пересечения <i>l</i><sub>1</sub>с окружностями <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>имело заданную величину <i>a</i>; б)<i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>высекали на <i>l</i><sub>1</sub>равные хорды; в)<i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>высекали на <i>l</i><sub>1</sub&g...
Дан угол<i>ABC</i>и прямая <i>l</i>. Постройте прямую, параллельную прямой <i>l</i>, на которой стороны угла<i>ABC</i>высекают отрезок данной длины <i>a</i>.
Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке. Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.
В трапеции<i>ABCD</i>стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>параллельны,<i>M</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>,<i>N</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что2<i>MN</i>= |<i>AB</i>+<i>CD</i>-<i>BC</i>-<i>AD</i>|.
Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. а) Докажите, что<i>KM</i>$\le$(<i>BC</i>+<i>AD</i>)/2, причем равенство достигается, только если<i>BC</i>|<i>AD</i>. б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника<i>ABCD</i>найдите максимальные значения длин отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.
Внутри прямоугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины<i>AB</i>и <i>BC</i>, стороны которого равны<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>,<i>DM</i>.
Две окружности радиуса <i>R</i>пересекаются в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку<i>MN</i>с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой<i>MN</i>. Докажите, что<i>MN</i><sup>2</sup>+<i>AB</i><sup>2</sup>= 4<i>R</i><sup>2</sup>.
Две окружности радиуса <i>R</i>касаются в точке <i>K</i>. На одной из них взята точка <i>A</i>, на другой — точка <i>B</i>, причем$\angle$<i>AKB</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что<i>AB</i>= 2<i>R</i>.
Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.
В каком месте следует построить мост <i>MN</i> через реку, разделяющую две данные деревни <i>A</i> и <i>B</i>, чтобы путь <i>AMNB</i> из деревни <i>A</i> в деревню <i>B</i> был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).
Из вершины <i>B</i> параллелограмма <i>ABCD</i> проведены его высоты <i>BK</i> и <i>BH</i>. Известны отрезки <i>KH</i> = <i>a</i> и <i>BD</i> = <i>b</i>. Найдите расстояние от точки <i>B</i> до точки пересечения высот треугольника <i>BKH</i>.