Задача
Дан треугольникABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно сторонеBCдо пересечения со сторонойCA, затем параллельноABдо пересечения с BC, затем параллельноACдо пересечения с ABи т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.
Решение
Обозначим последовательные точки траектории на сторонах треугольника через A1,B1,B2,C2,C3,A3,A4B4,... (рис.). Так какA1B1|AB2,B1B2|CA1и B1C|B2C2, то треугольникAB2C2получается из треугольникаA1B1Cпараллельным переносом. Аналогично треугольникA3BC3получен параллельным переносом из треугольникаAB2C2, а треугольникA4B4C — из треугольникаA3BC3. Но треугольникA1B1Cтоже получен из треугольникаA3BC3параллельным переносом. ПоэтомуA1=A4, т. е. после семи шагов траектория замкнется (возможно, что она замкнется и раньше).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь