Олимпиадные задачи из источника «Вводные задачи»

Внутри прямоугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины<i>AB</i>и <i>BC</i>, стороны которого равны<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>,<i>DM</i>.

Две окружности радиуса <i>R</i>пересекаются в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку<i>MN</i>с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой<i>MN</i>. Докажите, что<i>MN</i>²+<i>AB</i>²= 4<i>R</i>².

Две окружности радиуса <i>R</i>касаются в точке <i>K</i>. На одной из них взята точка <i>A</i>, на другой — точка <i>B</i>, причем$\angle$<i>AKB</i>= 90^<tt>o</tt>. Докажите, что<i>AB</i>= 2<i>R</i>.

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.