Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 2-8 класса

Квадрат <i>ABCD</i>вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков <i>PQ</i>, где <i>P</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i>на неподвижную прямую <i>l</i>, а <i>Q</i> — середина стороны <i>AB</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что при гомотетии с центром <i>C</i>и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>перпендикулярны. Хорда <i>EA</i>пересекает диаметр <i>CD</i>в точке <i>K</i>, хорда <i>EC</i>пересекает диаметр <i>AB</i>в точке <i>L</i>. Докажите, что если <i>CK</i>:<i>KD</i>= 2 : 1, то <i>AL</i>:<i>LB</i>= 3 : 1.

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁) и (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) равна${\frac{1}{2}}$|<i>x</i>₁<i>y</i>₂–<i>x</i>₂<i>y</i>₁|. б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁), (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) и (<i>x</i>₃,<i>y</i>₃) равна&lt...

Докажите, что расстояние от точки (<i>x</i>₀,<i>y</i>₀) до прямой<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>= 0 равно${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Докажите, что медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 5<i>c</i>².

Докажите, что: а) <i>m</i>_a²= (2<i>b</i>²+ 2<i>c</i>²-<i>a</i>²)/4; б) <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²+<i>m</i>_c²= 3(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4.

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90^<tt>o</tt>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45^<tt>o</tt>.