Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Окружность <i>S</i>₁касается сторон <i>AC</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>, окружность <i>S</i>₂касается сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>, кроме того, <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности <i>S</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>так, что прямые <i>AX</i>,<i>BY</i>,<i>CZ</i>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что из отношений <i>OA</i>:<i>OX</i>,<i>OB</i>:<i>OY</i>,<i>OC</i>:<i>OZ</i>по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AK</i>и <i>CM</i>. Докажите, что если <i>AB</i>><i>BC</i>, то <i>AM</i>><i>MK</i>><i>KC</i>.

На продолжении наибольшей стороны <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>за точку <i>C</i>взята точка <i>D</i>так, что <i>CD</i>=<i>CB</i>. Докажите, что угол <i>ABD</i>не острый.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<i>AO</i>sin <i>BOC</i>+<i>BO</i>sin <i>AOC</i>+<i>CO</i>sin <i>AOB</i>$\leq$<i>p</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>стороны равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$. </div>

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AD</i>, медиана <i>BM</i>и высота <i>CH</i>пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла <i>A</i>?

Через вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.

В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i>_c$\leq$<i>h</i>_a.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>наибольшая из высот <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Докажите, что $\angle$<i>B</i>$\leq$60^<tt>o</tt>.

Пусть <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A</i>₁, то $\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B</i>₁,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C</i>₁,$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D</i>₁.

Докажите, что:

  а)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_2.gif">   б)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_3.gif">

Пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если $\alpha$<$\beta$<$\gamma$, то sin 2$\alpha$> sin 2$\beta$> sin 2$\gamma$.

Докажите, что если <i>a</i>+<i>b</i>< 3<i>c</i>, то <i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2) < 1/2.

Докажите, чтоsin($\gamma$/2)$\leq$<i>c</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что1 - sin($\alpha$/2)$\geq$2 sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2).

а) cos$\alpha$cos$\beta$+ cos$\beta$cos$\gamma$+ cos$\gamma$cos$\alpha$$\leq$3/4.

а) cos²$\alpha$+ cos²$\beta$+ cos²$\gamma$$\geq$3/4. б) Для тупоугольного треугольника<div align="CENTER"> cos²$\displaystyle \alpha$ + cos²$\displaystyle \beta$ + cos²$\displaystyle \gamma$ > 1. </div>

а) sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$$\leq$3$\sqrt{3}$/8; б) cos($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2)$\leq$3$\sqrt{3}$/8.

а) sin($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)$\leq$1/8; б) cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$$\leq$1/8.

а) <i>ctg</i>($\alpha$/2) +<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2)$\geq$3$\sqrt{3}$. б) Для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> <i>tg</i>$\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i>$\displaystyle \beta$ + <i>tg</i>$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3$\displaystyle \sqrt{3}$. </div>

а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$$\geq$$\sqrt{3}$; б) <i>tg</i>($\alpha$/2) +<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2)$\geq$$\sqrt{3}$.

а) sin$\alpha$+ sin$\beta$+ sin$\gamma$$\leq$3$\sqrt{3}$/2; б) cos($\alpha$/2) + cos($\beta$/2) + cos($\gamma$/2)$\leq$3$\sqrt{3}$/2.

а) 1 < cos$\alpha$+ cos$\beta$+ cos$\gamma$$\leq$3/2; б) 1 < sin($\alpha$/2) + sin($\beta$/2) + sin($\gamma$/2)$\leq$3/2.