Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

<b>Из километров — в мили.</b>В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160577">3.125</a>была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот. Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:<div align="CENTER"> 30 = 21 + 8 + 1 = <i>F</i>₈ + <i>F</i>₆ + <i>F</i>₂ = (1010001)_F. </div>Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая<div align="CENTER"> <i>F</i>₇ + <i&gt...

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">

Числа <i>P_kl</i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.

Докажите, что при любых <i>k</i> и <i>l</i> многочлен <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) является возвратным, то есть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61527/problem_61527_img_2.gif">

(Определение многочленов Гаусса см. <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>.)

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif">   где

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif">   – обобщенные биномиальные коэффициенты.

Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.

На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a_k</i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a_k</i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.

Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif">    б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif">    в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif">    г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i>₀(<i>x</i>) + <i>F</i>₁(<i>x</i>)<i>z + F</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F_n</i>(<i>x</i>)<i>zⁿ</i> + ...

и последовательности многочленов Люка   <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i>₀(<i>x</i>) + <i>L</i>₁(<i>x</i>)<i>z + L</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...

Вычислите суммы а)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{F_n}{2^n}}$;        б)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{L_n}{2^n}}$. Здесь L_nобозначает числа Люка, смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>.

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L_n</i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).

Докажите, что бесконечная сумма<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"> </td> <td align="LEFT">0, 1</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 01</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 002</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 0003</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 00005</td>...

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>₀ + <i>F</i>₁<i>x</i> + <i>F</i>₂<i>x</i>² + ... + <i>F_nxⁿ</i> + ... может быть записана в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_2.gif">   где  <img width="15" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_3.gif"> = <img width="41" height="41" align="MIDDLE" border="0" s...

Функции <i>a, b</i> и <i>c</i> заданы рядами     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_2.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_3.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_4.gif">Докажите, что  <i>a</i>³ +<i>b</i>³ +<i>c</i>³ – 3<i>abc</i>= (1 +<i>x</i>³)^<i>n</i>.

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Докажите, что для всех неотрицательных <i>n</i> выполняются равенства   а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_3.gif">

Пусть <i>a_n</i> – число решений уравнения  <i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i> = <i>n</i>   в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a_n</i>.

  а) Докажите равенства:  <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)^<i>k</i> = (1 – <i>x</i>)^–<i>k</i>.

  б) Найдите формулу для <i>a_n</i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.

Вычислите суммы:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61492/problem_61492_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61492/problem_61492_img_3.gif">