Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 6-8 класса - сложность 3 с решениями

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Докажите, что для любых  <i>y</i>₁, <i>y</i>₂, ..., <i>y_n</i>  существует единственнный многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше  <i>n</i> – 1,  такой, что  <i>f</i>(<i>x</i>₁) = <i>y</i>₁, ...,  <i>f</i>(<i>x_n</i>) = <i>y_n</i>.

Известно, что целые числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют равенству  <i>a + b + c</i> = 0.  Докажите, что  2<i>a</i>⁴ + 2<i>b</i>⁴ + 2<i>c</i>⁴  – квадрат целого числа.

а) Числа <i>a, b, c</i> являются тремя из четырёх корней многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

б) Числа <i>a, b, c</i> являются корнями многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

Решите системы: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б)  <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2,  <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2,  <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>x + y</i> = 32,  12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д)  <i>x + y + z</i> = 1,  <i>xy + xz + yz</i> = –4,  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i><sup>3</sup&gt...

Решите уравнения:

   a)  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>a</i>²<i>x</i>² – 2<i>a</i>²<i>x</i> + 2<i>a</i>⁴ = 0;

   б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> = <i>a</i>³ + <i>a</i>^–3.

Найдите рациональные корни многочленов:

  а)  <i>x</i>⁵ – 2<i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 5<i>x</i> + 6;

  б)  <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ – 6<i>x</i>³ – 14<i>x</i>² – 11<i>x</i> – 3.

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 12?

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <i>x</i>⁴ + 4;</td> <td align="LEFT"> ж) (<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>)³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – <i>c</i>³;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) 2<i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 1;</td> <td align="LEFT">з) (<i>x</i> – <i>y</i>)⁵ + (<i>y</i> - <...

Найдите  (<i>xⁿ</i> – 1, <i>x^m</i> – 1).

Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде  <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):

  а)  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1,  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;

  б)  <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>⁴ – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...

Пусть  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что  deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>),  deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>)  и   <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно и <i>P</i>(<i>x</i>) не делится на <i>Q</i>(<i>x</i>). Докажите, что при некотором  <i>s</i> ≥ 1  существуют такие многочлены  <i>A</i>₀(<i>x</i>), <i>A</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>A_s</i>(<i>x</i>)  и  <i>R</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>R_s</i>(<i>x</i>),  что  deg<i>Q</i>(<i>x</i>) > deg<i>R</...

Найдите остаток <i>R</i>(<i>x</i>) от деления многочлена  <i>xⁿ + x</i> + 2  на  <i>x</i>² – 1.

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.

Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

При каких <i>n</i> многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2<i>n</i>–2}  делится на  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1?

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ + <i>kxyz</i>  делилось на  <i>x + y + z</i>.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) дает остаток 2 при делении на  <i>x</i> – 1,  и остаток 1 при делении на  <i>x</i> – 2.

Какой остаток дает <i>P</i>(<i>x</i>) при делении на многочлен  (<i>x</i> – 1)(<i>x</i> – 2)?

Докажите, что многочлен степени <i>n</i> имеет не более чем <i>n</i> корней.

Фазовая плоскость <i>Opq</i> разбивается параболой  <i>p</i>² – 4<i>q</i> = 0  и прямыми  <i>p + q</i> + 1 = 0,  – 2<i>p + q</i> + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  на интервале  (– 2, 1).

Обозначим корни уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  через <i>x</i>₁, <i>x</i>₂. Нарисуйте на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек  <i>M</i>(<i>, q</i>),  которые задаются условиями:

а)  <i>x</i>₁ = 0,  <i>x</i>₂ = 1;     б)  <i>x</i>₁ ≤ 0,  <i>x</i>₂ ≥ 2;     в)  <i>x</i>₁ = <i>x</i>₂;     г)  – 1 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 0,  1 ≤ <i>x</i>₂ ≤ 2.