Задача
Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.
Решение
Пусть кубический многочлен P(x) и и квадратный трёхчлен Q(x) имеют общий корень x0.
Если P делится на Q без остатка, то есть P(x) = Q(x)R(x), то линейный многочлен R(x) имеет рациональные коэффициенты и, следовательно, рациональный корень. Этот корень будет и корнем P.
Если же P делится на Q с остатком, то есть P(x) = Q(x)R(x) + ax + b, то a и b рациональны. Подставив x = x0, получим, что ax0 + b = 0. Значит, x0 – рациональное число.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет