Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Квадратный трехчлен» для 11 класса

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Укажите все точки плоскости  (<i>x, y</i>),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  <i>y = p</i>² + (2<i>p</i> – 1)<i>x</i> + 2<i>x</i>².

Известно, что уравнение  <i>x</i>² + 5<i>bx + c</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ ≠ <i>x</i>₂,  а некоторое число является корнем уравнения  <i>y</i>² + 2<i>x</i>₁<i>y</i> + 2<i>x</i>₂ = 0  и корнем уравнения  <i>z</i>² + 2<i>x</i>₂<i>z</i> + 2<i>x</i>₁ = 0.  Найти <i>b</i>.

Рассмотрим графики функций  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.

Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе<i>y</i>= 2<i>x</i>²можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.

При каких <i>a</i> уравнение

  а)  <i>ax</i>² + (<i>a</i> + 1)<i>x</i> – 2 = 0;

  б)  (1 – <i>a</i>)<i>x</i>² + (<i>a</i> + 1)<i>x</i> – 2 = 0

имеет два различных корня?

Для многочленов  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>g</i>(<i>y</i>) = <i>y</i>² + <i>py + q</i>  с корнями <i>x</i>₁, <i>x</i>₂ и <i>y</i>₁, <i>y</i>₂ соответственно, выразите через <i>a, b, p, q</i> их результант <div align="CENTER"><i>R</i>(<i>f, g</i>) = (<i>x</i>₁ – <i>y</i>₁)(<i>x</i>₁ – <i>y</i>₂)(<i>x</i>₂ –...