Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 6-11 класса - сложность 3-4 с решениями

В кубе <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что

<i>DK</i> = 2<i>KC</i>.  Найдите

  а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;

  б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;

  в) расстояние от точки <i>A</i>₁ до плоскости треуго...

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> = 2<i>KC</i>  и  ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>.  <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и&lt...

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно 1.

В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.

Сторона основания<i> ABC </i>пирамиды<i> TABC </i>равна 4, боковое ребро<i> TA </i>перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AC </i>и<i> BT </i>параллельно медиане<i> BD </i>грани<i> BCT </i>, если известно, что расстояние от вершины<i> T </i>до этой плоскости равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116322/problem_116322_img_2.gif"> </i>.

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BDD'B' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером4<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODD' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> DD'A </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BB'D'D </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером3<i>× </i>4<i>× </i>8так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBB' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> BB'C </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> ACC'A' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>3<i>× </i>6так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCC' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> CC'D </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> AA'C'C </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAA' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> AA'B </i>и не им...

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 4 с центром<i> O </i>, а точка<i> M </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116313/problem_116313_img_2.gif"> AMC = </i>42<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AM </i>,<i> BM </i>и<i> CM </i>образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AMO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> AOM </i>или<i> ACM </i>?

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 2 с центром<i> O </i>, а точка<i> K </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116312/problem_116312_img_2.gif"> AKC = </i>46<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AK </i>,<i> BK </i>и<i> CK </i>образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AKO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> ACK </i>или<i> AOK </i>?

Отрезок<i> AL </i>является биссектрисой треугольника<i> ABC </i>. Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> A </i>, касается стороны<i> BC </i>в точке<i> L </i>и пересекает сторону<i> AB </i>в точке<i> K </i>. Найдите угол<i> BAC </i>и площадь треугольника<i> ABC </i>, если<i> BC=</i>4,<i> AK:LB=</i>3<i>:</i>2.

Отрезок<i> KB </i>является биссектрисой треугольника<i> KLM </i>. Окружность радиуса 5 проходит через вершину<i> K </i>, касается стороны<i> LM </i>в точке<i> B </i>и пересекает сторону<i> KL </i>в точке<i> A </i>. Найдите угол<i> MKL </i>и площадь треугольника<i> KLM </i>, если<i> ML=</i>9<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116310/problem_116310_img_2.gif"> </i>,<i> KA:LB=</i>5<i>:</i>6.

Точки <i>K, L</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>KL</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>LM</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает первую окружность в точке <i>N</i> и касается второй окружности в точке <i>S,  LN</i> = 8,  <i>NS</i> = 4.  Найдите радиусы окружностей.

Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>AB</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>BC</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>A</i>, пересекает первую окружность в точке <i>D</i> и касается второй окружности в точке <i>E,  BD</i> = 9,  <i>BE</i> = 12.  Найдите радиусы окружностей.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BС </i>, если<i> BF=</i>12и<i> BG=</i>15.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BG </i>, если<i> BC=</i>5и<i> BF=</i>12.

Продолжения противоположных сторон<i> AB </i>и<i> CD </i>четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> P </i>, а продолжения сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>— в точке<i> Q </i>. Докажите, что середины диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>, а также середина отрезка<i> PQ </i>лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.

Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?

В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.