Олимпиадная задача: биссектриса и окружность в треугольнике KLM, планиметрия

Пусть окружность пересекает сторону KM в точке C . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

ABL = AKB = BKC = BAC,

значит, AC || ML . Положим AK=5a , BL=6a . По теореме о касательной и секущей BL2=LA· LK , или36a2=LA(LA+5a), откуда находим, что LA=4a , а т.к. AC || ML , то

== =, AC=· ML=· 9=5.

Пусть R=5— радиус окружности, о которой говорится в условии задачи. Эта окружность описана около треугольника AKC , поэтому

sin AKC = ==,

значит, MKL = AKC = 60^o или MKL= AKC = 120^o . Второй случай невозможен, т.к. тогда градусная мера дуги ABC равна240^o , и поэтому расстояние от точки K до прямой AC меньше расстояния от точки B до этой прямой. В то же время, отношение этих расстояний равно = . Следовательно, MKL = 60^o . Положим KC=5b , CM=4b . По теореме о касательной и секущей

BM = ==6b,

значит, ML=LB+MB = 6a+6b . По теореме косинусов

ML2=KM2+KL2-2KM· KL cos 60^o, (6a+6b)2=81b2+81a2-81ab,

4(a+b)2=9(a2+b2)-9ab, 5(a2+b2)-17ab=0, 5(a+b)2-27ab=0, 27ab=5(a+b)2,

а т.к.

a+b=ML=· 9=,

то

27ab=5· ()2=, ab=.

Следовательно,

S_{Δ KLM}=· 9a· 9b· sin 60^o= == .

60^o , .