Олимпиадная задача по стереометрии для 10–11 класса: сфера вписана в четырёхугольную пирамиду

Пусть SH — высота четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S , O — центр сферы, вписанной в пирамиду ( O лежит на отрезке SH ), K , L , M и N — точки касания сферы с гранями ASB , BSC , CSD и ASD соответственно. Прямоугольные треугольники OKS , OLS , OMS и ONS равны по катету (радиус сферы) и гипотенузе, поэтому

OSK = OSL= OSM= OSN.

Продолжим отрезки SK , SL , SM и SN до пересечения со сторонами AB , BC , CD и AD основания в точках K1, L1, M1и N1соответственно. Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OK и SH плоскости SHK1, поэтому AB SK1. Аналогично, BC SL1, CD SM1и AD SN1, а также HK1 AB , HL1 BC , HM1 CD и HN1 AD . Прямоугольные треугольники SK1H , SL1H , SM1H и SN1H равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому HK1=HL1=HM1=HN1, значит, точка H равноудалена от сторон четырёхугольника ABCD . Следовательно, H — центр окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

Ответ задачи отсутствует