Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: касающиеся окружности и хорды

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: две касающиеся окружности и хорды

Задача

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке A , а третьей окружности — в точках B и C . Продолжение хорды AB первой окружности пересекает вторую окружность в точке D , продолжение хорды AC пересекает первую окружность в точке E , а продолжения хорд BE и CD — третью окружность в точках F и G соответственно. Найдите BС , если BF=12и BG=15.

Решение

Пусть S1, S2и S3— первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки A , B и C общие касательные l_a , l_b , l_c к окружностям S1и S2, S1и S3, S2и S3соответственно. Тогда касательные l_a и l_b образуют равные углы с хордой AB . Обозначим эти углы через γ . Аналогично, равные углы, которые образуют касательные l_a и l_c с хордой AC , обозначим через β , а равные углы, которые образуют касательные l_b и l_c с хордой BC , — через α . Тогда сумма2α+2β+ 2γ — это сумма углов треугольника ABC , поэтому α+β+γ=90^o . На касательной l_a отметим точку P внутри угла DAE и точку Q внутри угла BAC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что