Олимпиадная задача по планиметрии: точки на окружности и касательной, сложность 3 из 5

Из неравенства AK<BK<CK следует, что отрезок CK пересекает окружность в некоторой точке N , а продолжение отрезка AK пересекает окружность в некоторой точке M . Обозначим AK=x , BK=y , CK=z . Числа x , y и z в указанном порядке образуют геометричекую прогрессию, поэтому y2=xz . С другой стороны, по теореме о касательной и секущей y2=BK2=x· KM = z· KN , поэтому x· KM=xz и z· KN =xz , откуда находим KM=z=KC и KN =x=KA . Треугольники KOM и KOC равны по трём сторонам, поэтому KO — биссектриса угла CKA , следовательно,

AKO= AKC = 23^o.

Из равнобедренного треугольника KCM находим, что

AMC = 90^o- AKC = 90^o-23^o= 67^o.

Пусть R=2— радиус данной окружности. По теореме синусов

AC=2R sin AMC = 2· 2 sin 67^o=4 sin 67^o.

В четырёхугольнике AOCK известно, что

AOC + AKC = 2· AMC + AKC= 2· 67^o+46^o=180^o,

значит, точки A , O , C и K лежат на одной окружности. Следовательно, ACK = AOK .

23^o ,4 sin 67^o ; одинаковы.