Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: объём треугольной пирамиды с равными гранями

Пусть высота DH пирамиды ABCD с вершиной D является высотой боковой грани ADC . Предположим (рис.1), что AC=AD=b , CD=a ( a b , т.к. в противном случае ABCD — правильный тетраэдр). Тогда из равенства всех граней пирамиды следует, что BD=BC=b и высота равнобедренного треугольника BCD , опущенная на боковую сторону BC , равна высоте DH равнобедренного треугольника ACD , опущенной на боковую сторону AC , что невозможно, т.к. DH — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP — наклонная к этой плоскости. Таким образом, DH — высота равнобедренного треугольника ADC , опущенная на основание. Обозначим DA=DC=a , AC=b (рис.2). Тогда AB=BC=a и BD=AC=b . По теореме Пифагора

BH=DH==,

а т.к. DH BH , то

b=BD=BH· =· = .

Из равенства b= находим, что b2=a2. Следовательно, b>a , значит, расстояние между наибольшими противоположными рёбрами — это расстояние между AC и BD . Пусть M — середина BD . Тогда HM — высота и медиана равнобедренного треугольника BHD , а т.к. HM лежит в плоскости, перпендикуляной AC , то HM — общий перпендикуляр прямых BD и AC , HM=BD=b . По условию задачи HM=1, значит, b=2. Тогда

a=b=, DH=BH=MH=.

Следовательно,

V_ABCD=S_{Δ ABC}· DH= · AC· BH· DH= · · 2 · · = .

.