Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: симметрия и описанные окружности
Задача
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, точка C1 симметрична C относительно O, D – середина стороны AB, K – центр описанной окружности треугольника ODC1. Докажите, что точка O делит пополам отрезок прямой OK, лежащий внутри угла ACB.
Решение
Пусть прямая OK пересекает стороны BC и AC в точках X и Y соответственно, а описанную окружность Ω1 треугольника ODC1 – в точке Z. Поскольку
OD ⊥ OA и DZ ⊥ OD (точка D лежит на окружности Ω1 с диаметром OZ), точки A, D и Z лежат на одной прямой. Значит,
∠COX = ∠ZOC1 = ∠ZDC1 = ∠ADC1.
Пусть Ω – описанная окружность треугольника ABC. Вписанные в неё углы C1CB и C1AB равны, поэтому ∠OCX = ∠C1CB = ∠C1AB = ∠C1AD. Следовательно, треугольники COX и ADC1 подобны по двум углам. Аналогично подобны треугольники COY и BDC1.
Следовательно, OX : OC = DC1 : AB и OY : OC = DC1 : DB, а так как AD = BD, то OX = OY.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь