Олимпиадная задача по стереометрии: объем треугольной пирамиды с боковыми рёбрами 1 при прямом двугранном угле

Пусть SH — высота данной треугольной пирамиды SABC с вершиной S , а двугранный угол при ребре BC равен90^o . Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, а т.к. боковая грань SBC перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды лежит в этой грани, значит, точка H лежит на ребре BC . Кроме того, треугольник SBC — равнобедренный, поэтому H — середина BC . Центр H описанной окружности треугольника ABC лежит на стороне BC , поэтому треугольник ABC — прямоугольный, а его гипотенуза BC равна диаметру описанной окружности. Боковые грани пирамиды равновелики, поэтому

SA· SB sin ASB = SB· SC sin BSC= SA· SC sin ASC,

откуда находим, что sin ASB= sin BSC= sin ASC , а т.к. BSC — наибольший из плоских углов при вершине пирамиды ( BC — наибольшая сторона треугольника ABC ), то BSC > 90^o , а ASB= ASC = 180^o- BSC . Обозначим через R радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ABC . Тогда BC=2R , а т.к. AB=AC , то AB=AC= R . По теореме косинусов

cos BSC = = =2-4R2,

cos ASB = = =2-2R2,

а т.к. BSC = 180^o- ASB , то cos BSC = - cos ASB , или2-4R2=2R2-2, откуда находим, что R= . Следовательно,

V_SABC=S_{Δ ABC}· SH= · R· R· =

=R2= · = .

.