Олимпиадная задача по стереометрии: точка O и сфера в параллелепипеде, 10-11 класс

Обозначим OAB =α , OAD=β , OAA'= γ . По условию задачи α+β+γ=180^o . Отложим на луче AO отрезок AE=1(рис.1). Тогда проекции точки E на прямые AB , AD и AA' равны cos α , cos β и cos γ соответственно. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1, а т.к. γ = 180^o-α-β , то

cos2 α+ cos2 β+ cos2(180^o-α-β)=1, cos2 α+ cos2 β+ cos2(α+β)=1,

2 cos2 α+2 cos2 β+2 cos2(α+β)=2, 1+ cos 2α + 1+ cos 2β + 2 cos2(α+β)=2,

cos 2α + cos 2β +2 cos2(α+β)=0, 2 cos (α+β) cos (α -β)+2 cos2(α+β)=0,

cos (α+β)( cos (α-β)+ cos (α+β))=0, cos (α+β) cos α cos β=0, cos γ cos α cos β = 0.

Следовательно, либо γ = 90^o , либо β = 90^o , либо cos α=90^o . Если α = 90^o , то точка O лежит в плоскости AA'D , что невозможно, т.к. сфера с центром O не имеет общих точек с этой плоскостью. Если β = 90^o , то точка O лежит в плоскости AA'B , что также невозможно, т.к. сфера с центром O касается этой плоскости. Значит, γ = 90^o , поэтому точка O лежит в плоскости ABCD , а значит, — на прямой AC пересечения плоскостей AA'C'C и ABCD . По условию задачи точка O лежит в сечении AA'C'C , значит, она расположена на отрезке AC . Сфера с центром O , лежащим в плоскости ABC , касается плоскостей A'B'C'D' и AA'B , поэтому её радиус равен длине ребра AA' и меньше длины ребра AD , а т.к. сфера не имеет общих точек с гранью AA'D , то её радиус r меньше длины ребра AB . Следовательно, AA' — наименьшее ребро параллелепипеда, т.е. r=AA'=2. Расстояние от центра сферы до плоскости AA'D (рис.2) равно расстоянию то точки O , лежащей на диагонали AC прямоугольника ABCD , до стороны AD , поэтому AB>AD . Значит, AB = 9и AD=6. Пусть H — проекция точки O на сторону AB . Тогда искомое расстояние равно длине отрезка AH . Из подобия прямоугольных треугольников AOH и ACB находим, что

AH=AB· = 9· =3.