Олимпиадная задача по планиметрии: Радиусы окружностей через точки A, B, C, D и E
Задача
Точки A, B и C лежат на одной прямой. Отрезок AB является диаметром первой окружности, а отрезок BC – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD = 9, BE = 12. Найдите радиусы окружностей.
Решение
Пусть O1 и O2 – центры первой и второй окружностей соответственно, R1 и R2 – их радиусы. С точностью до симметрии возможны три случая расположения точек A, B и C на прямой.
1) Точка A лежит между точками B и C. Тогда A находится внутри второй окружности, и не существует прямой, проходящей через A и касающейся второй окружности.
2) Точка B лежит между точками A и C. Тогда ∠BEC = ∠AEO2 = 90°, ∠ DEB = ∠ECB. Треугольники BEC и BDE подобны по двум углам, поэтому
BC : BE = BE : BD, откуда 2R2 = BC = BE²/BD = 16.
Отрезки BD и EO2 параллельны, поэтому BD < EO2, а так как BD = 9 и EO2 = R2 = 8, то этот случай невозможен.
3) Точка C лежит между точками A и B. Аналогично предыдущему получаем, что R2 = 8. Треугольники ADB и AEO2 подобны по двум углам, поэтому
AO2 : AB = EO2 : DB, или (2R1 – 8) : 2R1 = 8 : 9, откуда R1 = 36.
Ответ
36 и 8.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь