Олимпиадная задача: существуют ли целочисленные вершины равностороннего треугольника?

Предположим, что такой равносторонний треугольник ABC существует. Пусть его стороны не параллельны осям координат. Тогда проведя через его соответствующие вершины прямые, параллельные осям координат, опишем около него прямоугольник. Длины сторон этого прямоугольника, а значит, и площадь, — целые числа. Площадь треугольника ABC равна разности площади прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Поэтому площадь треугольника — рациональное число. С другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной a равна , причём a2— целое число как квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми катетами. Значит, число иррационально. Противоречие. Аналогично для случая, когда одна из сторон треугольника ABC параллельна оси координат.

Нет.