Олимпиадная задача по математике: треугольник в квадрате и принцип Дирихле

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: треугольник в квадрате и принцип Дирихле

Задача

В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.

Решение

Воспользуемся следующим утверждением. Если вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах, то площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника. Разобъём одну из сторон квадрата на 50 равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные смежной стороне квадрата. Получим 50 равных прямоугольников с площадями . Заметим, что хотя бы в один из полученных 50-ти прямоугольников попадёт не менее трёх из данных точек, т.к. в противном случае общее количество точек было бы меньше 101. Площадь треугольника с вершинами в этих трёх точках не превосходит половины площади содержащего их прямоугольника со сторонами 1 и . Следовательно, площадь этого треугольника не превосходит .