Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 2-9 класса
Через центр вписанной окружности четырёхугольника <i>ABCD</i> проведена прямая. Она пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>X</i> и сторону <i>CD</i> в точке <i>Y</i>; известно, что ∠<i>AXY</i> = ∠<i>DYX</i>. Докажите, что <i>AX</i> : <i>BX = CY</i> : <i>DY</i>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i><sub>1</sub> симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i><sub>1</sub>. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.
<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через точку <i>I</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что отрезок <i>XY</i> касается вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности.
На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём <i>AK</i> = 2<i>KC</i> и ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>. <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.
Внутри треугольника <i>ABC</i> на биссектрисе его угла <i>B</i> выбрана такая точка <i>M</i>, что <i>AM = AC</i> и ∠<i>BCM</i> = 30°. Докажите, что ∠<i>AMB</i> = 150°.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – середины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. На продолжении отрезка <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> отложен отрезок <i>B</i><sub>1</sub><i>K</i> по длине равный <img align="middle" src="/storage/problem-media/116500/problem_116500_img_2.gif">. Известно, <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>BC</i>. Докажите, что <i>AB = BK</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и <i>KL = KC</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>. Докажите, что <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
В треугольнике<i>ABC</i>известно, что<i>AB</i>= 10,<i>BC</i>= 24, а медиана<i>BD</i>равна 13. Окружности, вписанные в треугольники<i>ABD</i>и<i>BDC</i>касаются медианы<i>BD</i>в точках<i>M</i>и<i>N</i>соответственно. Найдите<i>MN</i>.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 9. Найдите площадь трапеции.
Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.
Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Точки <i>M</i> и <i>K</i> расположены на боковой стороне <i>AB</i>, а точки <i>NL</i> – на боковой стороне <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>MN || AD</i>. Известно, что площади трапеций <i>MBCN</i> и <i>MADN</i> относятся как 1 : 5. Найдите <i>MN</i> и <i>KL</i>, если <i>BC = a, AD = b</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на боковых сторонах соответственно <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>MN</i> || <i>AD</i>. Известно, что площадь трапеции <i>MBCN</i> относится к площади трапеции <i>AMND</i> как 2 : 3. Найдите <i>MN</i>, если <i>BC = a, AD = b</i>.
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i>, <i>N</i>, <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 2, <i>CN</i> : <i>NB</i> = 2 : 3, <i>CK = KD</i> и <i>AL</i> : <i>LD</i> = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника <i>MBNKDL</i> к площади четырёхугольника <i>ABCD</i>.
На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, причём <i>BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i>= <i>CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 1 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>C...
На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём <i>CM</i> : <i>MB</i> = 1 : 3 и <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2. Отрезки <i>AM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKN</i>, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BL</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CKOL</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BN</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOK</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOC</i>.
На сторонах <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, причём <i>BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i> = <i>CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</su...
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 1 : 2, <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2. Прямая <i>MN</i> пересекает продолжение стороны <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Найдите <i>CF</i> : <i>BC</i>.
Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём <i>BM</i> : <i>MA</i> = 1 : 2. Отрезки <i>DM</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Известно, что площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCPM</i>.