Радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника — олимпиадная задача по планиметрии

Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом при вершине C, в котором BC = 2, ∠BAC = 30°. Тогда AB = 2BC = 4, . Если A₁, B₁ и C₁ – точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC, AC и AB соответственно, а r – радиус вписанной окружности с центром O, то четырёхугольник OA₁CB₁ квадрат со стороной r, поэтому

Тогда Следовательно, Пусть – полупериметр треугольника ABC, r_a – радиус окружности с центром O_a, касающейся катета BC в точке A₂, а продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках M и N соответственно. Тогда а т.к. AM = AN, то AN = p. Четырёхугольник O_aNCA₂ – квадрат со стороной r_a, поэтому Если r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся катета AC и гипотенузы AB, то аналогично найдём, что