Олимпиадная задача по планиметрии: площадь четырёхугольника в треугольнике ABC
Задача
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём CM : MB = 1 : 3 и AN : NC = 3 : 2. Отрезки AM и BN пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника CMKN, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
Решение
Положим CM = a, BM = 3a. Через вершину A проведём прямую, параллельную BC. Пусть эта прямая пересекается с прямой BN в точке T. Из подобия треугольников ANT и CNB находим, что AT = 3/2 BC = 2BM, а из подобия треугольников AKT и MKB – AK = 2KM, поэтому
SANK = AN/NC·AK/AM·SACM = ⅗·⅔·¼·SABC = 1/10·SABC.
Следовательно, SCMKN = SACM – SANN = ¼ – 1/10 = 3/20.
Ответ
3/20.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет