Олимпиадная задача: площадь треугольника по пересечениям прямых (планиметрия)

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: площади треугольников

Задача

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A₁, B₁ и C₁ соответственно, причём BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = AC₁ : C₁B = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA₁, BB₁ и CC₁, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.

Решение

Пусть K – точка пересечения отрезков BB₁ и CC₁. Через точку B проведём прямую, параллельную AC, и продолжим CC₁ до пересечения с этой прямой в точке T. Положим CB₁ = 2a, AB₁ = 3a. Треугольники BC₁T и AC₁C подобны с коэффициентом . Поэтому , а из подобия треугольников BKT и B₁KC находим, что