Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = 5, BC = 3, AC = 4. Поскольку AB² = 5² = 4² + 3² = AC² + BC², этот треугольник – прямоугольный, причём AB – его гипотенуза. Если A₁, B₁ и C₁ – точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC, AC и AB соответственно, а r – радиус вписанной окружности с центром O, то четырёхугольник OA₁CB₁ квадрат со стороной r, поэтому AC₁ = AB₁ = AC – CB₁ = AC – r, BC₁ = BA₁ = BC – CA₁ = BC – r. Тогда AB = AC₁ + BC₁ = (AC – r) + (BC – r) = AC + BC – 2r.Следовательно,

Пусть – полупериметр треугольника ABC, r_a – радиус окружности с центром O_a, касающейся катета BC в точке A₂, а продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках M и N соответственно. Тогда 2p = AC + BC + AB = AC + (CA₂ + C₂B) + AB = AC + (CN + BM) + AB = (AC + CN) + (AB + BM) = AN + AM.А т.к. AM = AN, то AN = p. Четырёхугольник O_aNCA₂ – квадрат со стороной r_a, поэтому r_a = O_aA₂ = CN = AN – AC = p – AC = 6 – 4 = 2.Если r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся катета AC и гипотенузы AB, то аналогично найдём, что r_b = p – BC = 6 – 3 = 3, r_c = p = 6.

1; 2; 3; 6.