Олимпиадная задача по планиметрии: пропорции в четырёхугольнике через вписанную окружность
Задача
Через центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD проведена прямая. Она пересекает сторону AB в точке X и сторону CD в точке Y; известно, что ∠AXY = ∠DYX. Докажите, что AX : BX = CY : DY.
Решение
Пусть O – центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD. Тогда AO и BO – биссектрисы углов BAD и CDA. Положим
∠XAO = ∠DAO = α, ∠YDO = ∠ADO = β, ∠AXO =∠DYO = φ. Тогда 2α + 2β + 2φ = 360° как сумма углов четырёхугольника AXYD. Поэтому
α + β + φ = 180°, значит, ∠AOX = 180° – α – φ = β. Следовательно, треугольники AXO и OYD подобны по двум углам, откуда AX : OY = OX : DY, то есть AX·DY = OX·OY. Аналогично BX·CY = OX·OY. Следовательно, AX·DY = BX·CY, откуда AX : BX = CY : DY.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь