Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов: радиусы окружностей треугольника

  Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC,  a = AC = BC = 17,  c = AB = 30),  r_c, r_b и r_a – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, O_c, O_b и O_a – их центры, S – площадь треугольника ABC,  p = 32  – полупериметр.

  Поскольку высота CK равнобедренного треугольника ABC является его медианой, то  CK² = AC² – AK² = 64.

  Поэтому  S = ½ AB·CK = 120.  Следовательно,  r = ^S/_p = ¹⁵/₄.   Первый способ. Если окружность с центром O_c касается продолжения стороны BC в точке M, то из подобия треугольников CMO_c и CKB находим, что  r_c = O_cM = BK·^CM/_CK = BK·^(BC+CM)/_CK = BK·^(BC+BK)/_CK = 15·³²/₈ = 60.

  Пусть окружность с центром O_a касается продолжения стороны AB в точке F, а продолжения стороны AC – в точке E. Поскольку CO_a – биссектриса угла BCE, а CK – биссектриса его смежного угла ACB, то  ∠O_aCK = 90°.  Поэтому O_aCKF – прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = r_c = O_aF = CK = 8.   Второй способ.  r_c = ^S/_p–c = ¹²⁰/_32–30 = 60,  r_b = r_a = ^S/_p–a = ¹²⁰/_32–17 = 8.   Третий способ. Поскольку AO – биссектриса треугольника AKC, то  OK : OC = AK : AC = 15 : 17,  r = OK = ¹⁵/₁₅₊₁₇·CK = ¹⁵/₁₅₊₁₇·8 = ¹⁵/₄.

  Поскольку AO_c – биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то  O_cK : O_cC = AK : AC = 15 : 17,  r_c = O_cK = ¹⁵/_17–15·CK = ¹⁵/₂·8 = 60.

¹⁵/₄, 60, 8, 8.