Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 8-9 класса

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].

Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что   ¹/_<i>n</i> (|<i>x – x</i>₁| + |<i>x – x</i>₂| + ... + |<i>x – x_n</i>|)  = ½.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif">   целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Последовательность(<i>a_n</i>)задана условиями<i> a₁= </i>1000000,<i> a_n+</i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

Окружности<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>проведены соответственно касательные<i> l₁ </i>и<i> l₂ </i>. Точки<i> T₁ </i>и<i> T₂ </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>так, что угловые меры дуг<i> T₁A </i>и<i> AT₂ </i>равны (величина дуги...

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i>  и  <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i>⁶  определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.

Докажите, что функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif">   также возрастает при всех положительных <i>x</i>.

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству  <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i>⁶ + <i>b</i>⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

По данному натуральному числу <i>a</i>₀ строится последовательность {<i>a_n</i>} следующим образом   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif">   если <i>a_n</i> нечётно, и ^<i>a</i>₀/₂, если <i>a_n</i> чётно. Докажите, что при любом нечётном  <i>a</i>₀ > 5  в последовательности {<i>a_n</i>} встретятся сколь угодно большие числа.

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.

Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>

f²</i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...