Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 8 класса - сложность 1-2 с решениями
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: <i>x</i>² + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i>² + <i>a</i><sub>9</sub><i>x + b</i><sub>9</sub>. Известно, что последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>9</sub> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b</i><sub>9</sub> – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> так, что отрезки <i>AM</i>, <i>BK</i> и <i>CP</i> пересекаются в одной точке и <img src="/storage/problem-media/108604/problem_108604_img_2.gif"> Докажите, что <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
Найдите все такие функции <i>f</i>(<i>x</i>), что <i>f</i>(2<i>x</i> + 1) = 4<i>x</i>² + 14<i>x</i> + 7.
В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.
Решить уравнение [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.
а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.
б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.
В ряд выписаны действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>1996</sub>. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
{<i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт 1 – |1 – 2<i>x</i>|.
а) Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i><sub>1</sub> рационально.
Найти число решений в натуральных числах уравнения [<sup><i>x</i></sup>/<sub>10</sub>] = [<sup><i>x</i></sup>/<sub>11</sub>] + 1.
Решить в натуральных числах уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">
При каком натуральном <i>K</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif"> достигает максимального значения?
Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif"> и <sup>1</sup>/<sub><i>а</i></sub> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif"> принимают целые значения.
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на <i>q</i>² остаток получается меньше <sup><i>q</i>²</sup>/<sub>2</sub>, каково бы ни было <i>q</i>.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>6</sub> делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i><sub>1</sub> провёден луч <i>l</i><sub>1</sub> в направлении <i>A</i><sub>2</sub>, из <i>A</i><sub>2</sub> – луч <i>l</i><sub>2</sub> в направлении <i>A</i><sub>3</sub>, ..., из <i>A</i><sub>6</sub> – луч <i>l</i><sub>6</sub> в направлении <i>A</i><s...
Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)
На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?
Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)