Покажем, что функция $g(x)=f(x)-\frac12$ является нечётной. Действительно, $$g(-x)=\frac{1}{2^{-x}+1}-\frac12=\frac{2^x}{2^x+1}-\frac12 =\frac12-\frac{1}{2^x+1}=-g(x).$$

Следовательно, график функции $g$ симметричен относительно начала координат, а график функции $f$ симметричен относительно точки $\Bigl(0,\frac12\Bigr)$.

Да, существует.