Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].

Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что   ¹/_<i>n</i> (|<i>x – x</i>₁| + |<i>x – x</i>₂| + ... + |<i>x – x_n</i>|)  = ½.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>

h</i>(<i>t</i>)<i>=at²+bt+c,

</i></center> а в момент<i> t₀ </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t₀</i>)<i>=h'</i>(<i>t₀</i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы  <i>y</i> = – 2<i>x</i>²  и  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.

Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$

Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">

В ряд выписаны действительные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, ...  такова, что для каждого <i>n</i> уравнение  <i>a</i>_<i>n</i>+2<i>x</i>² + <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>x</i> + <i>a_n</i> = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть

  а) равным 10;

  б) бесконечным?

Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i>  при всех <i>x</i>?

(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

При каком натуральном <i>K</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif">   достигает максимального значения?

а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что  {<i>a</i>} + {¹/_<i>a</i>} = 1.

б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=<i>bx</i></td></tr> <tr><td>cos <i>x</i>=<i>b</i></td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.