Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» - сложность 3 с решениями
Стереометрия
НазадВ кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.
Ребёнок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращённых к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные буквы на данной развёртке кубика и определите, как зовут ребёнка. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116866/problem_116866_img_2.gif"></div>
а) Внутри сферы находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.
Дана пирамида <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. Для каждого <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> в плоскости основания построили треугольник <i>X<sub>i</sub>A<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub>, равный треугольнику <i>SA<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub> и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A<sub>i</sub>A</i><sub><i>i</i>+1</sub>...
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116574/problem_116574_img_2.gif"></div>Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
В кубе <i>ABCDA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что
<i>DK</i> = 2<i>KC</i>. Найдите
а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;
б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;
в) расстояние от точки <i>A</i><sub>1</sub> до плоскости треуго...
На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что <i>AD</i> = ⅓ <i>AC, CE</i> = ⅓ <i>CE</i>. Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.
На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?
В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и<...
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.
Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно 1.
В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.
Сторона основания<i> ABC </i>пирамиды<i> TABC </i>равна 4, боковое ребро<i> TA </i>перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AC </i>и<i> BT </i>параллельно медиане<i> BD </i>грани<i> BCT </i>, если известно, что расстояние от вершины<i> T </i>до этой плоскости равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116322/problem_116322_img_2.gif"> </i>.
Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BDD'B' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером4<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODD' = </i>180<i><sup>o</sup> </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> DD'A </i>и не им...
Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BB'D'D </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером3<i>× </i>4<i>× </i>8так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBB' = </i>180<i><sup>o</sup> </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> BB'C </i>и не им...
Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> ACC'A' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>3<i>× </i>6так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCC' = </i>180<i><sup>o</sup> </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> CC'D </i>и не им...
Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> AA'C'C </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAA' = </i>180<i><sup>o</sup> </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> AA'B </i>и не им...
От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?
Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.
B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.
B основании четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> лежит четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке <i>P</i>, и <i>SP</i> является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки <i>P</i> на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.