Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: угол в треугольнике ABC

Решение 1:   При повороте на 120° вокруг центра треугольника АBC вершина В перейдёт в вершину А, а точка D – в точку Е, поэтому прямая BD перейдёт в прямую АЕ. Следовательно, угол DFE между этими прямыми равен 120°.

  Рассмотрим серединуGотрезкаCD. Поскольку  GE = GC, Eлежит на окружности с диаметромCD. Но точкаFтакже лежит на этой окружности (сумма угловDCEиDFEравна 180°). Значит, уголCFDпрямой.

Решение 2:   Продолжим отрезок CF до пересечения с AB в точке H. По теореме Чевы (см. задачу 153856)  AB = ⅕ AB.

  Положим тогда Будем считать, что  b² = c² = 1,  тогда  (b, c) = ½,  а

(b – ⅓ c, c – ⅕ b) = ½ – ⅓ – ⅕ + ¹/₃₀ = 0.   Следовательно, прямые BD и CH перпендикулярны.

90°.