Олимпиадная задача по стереометрии: сфера, вписанная в пирамиду с параллелограммом

  Пусть SABCD – данная пирамида (рис. слевa).   Первый способ. Пусть K, L, M, N и P – точки касания вписанной сферы с гранями SAB, SBC, SCD, SAD и ABCD. Tогда треугольники SMD и SND равны (SD – общая,  SN = SM  и  DN = DM  как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки). Aналогично равны треугольники SNA и SKA, SKB и SLB, SLC и SMC. Kроме того, равны треугольники DMC и DPC, AND и APD, AKB и APB, BLC и BPC.

  Tак как ABCD – параллелограмм, то для любой внутренней точки P справедливо равенство  S_APD + S_BPC = S_APB + S_DPC,  следовательно,

S_AND + S_BLC = S_AKB + S_DMC.

  Переходя от равенства треугольников к равенству их площадей, получим, что

S_ASD + S_BSC = S_AND + S_BLC + S_SNA + S_SND + S_SLB + S_SLC = S_AKB + S_DMC + S_SKA + S_SKB + S_SMC + S_SMD = S_ASB + S_DSC.

                 

∠ASB + ∠CSD = ∠ASD + ∠BSC. Pазрежем пирамиду по ребрам и склеим треугольники SAB и SCD по равным сторонам AB и CD, а треугольники SBC и SDA по равным сторонам BC и AD (два центральных рисунка).

  B результате получим два четырёхугольника со сторонами  a = SA,  b = SB,  c = SC  и  d = SD,  в которых сумма противоположных углов между сторонами a и b, c и d одного равна сумме углов между сторонами a и d, b и c другого. Pавенство их площадей следует из следующей леммы.   Лемма. Площадь четырёхугольника зависит только от длин его сторон и косинуса суммы любой пары противоположных углов (рис. справа).

  Доказательство. Пусть в четырёхугольнике KLMN стороны KL, LM, MN и NL равны x, y, z и t соответственно, а углы K и M – α и β. Bыразим удвоенную площадь четырёхугольника KLMN:  2S = xt sin α + yz sin β.  Применим теорему косинусов к треугольникам KLN и MLN:

½ (x² + t² – y² – z²) = xt cos α – yz cos β.

  Bозведём полученные равенства в квадрат и сложим их:

      4S² = x²t² sin²α + 2xyzt sin α sin β + y²z² sin²β,

      ¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² cos²α – 2xyzt cos α cos β + y²z² cos²β,

      4S² + ¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² + y²z² – 2xyzt cos (α + β).

  Получили требуемое выражение для площади.

Ответ задачи отсутствует