Олимпиадная задача по стереометрии: задачи о точках внутри сферы и икосаэдре, 10-11 класс

  Пусть O – центр сферы, Q – искомый центр масс. Прямые высекают хорды, и ясно, что Q – центр масс середин этих хорд (для икосаэдра, как центрально-симметричной фигуры, пары противоположных лучей тоже можно заменить прямыми, содержащими большие диагонали).   а) Середины хорд (обозначим их K, L, M) являются проекциями центра сферы O на проведённые прямые, поэтому  

(вектор равен сумме своих проекций на три перпендикулярные оси). Отсюда    .   б) Пусть     Достаточно доказать, что  c = αa,  где коэффициент α не зависит ни от вектора a, ни от положения икосаэдра.   Середины хорд являются проекциями точки O на диагонали икосаэдра. Пусть e_i – единичный вектор, направленный по i-й диагонали, A_i – соответствующая проекция. Тогда     и  6c = (a, e₁)e₁ + ... + (a, e₆)e₆.  Последнее выражение зависит от a линейно, поэтому равенство(a, e₁)e₁ + ... + (a, e₆)e₆ = 6αa       (*)достаточно доказать для любых трёх некомпланарных векторов, в частности, для e₁, e₂, e₃.

  Заметим, что результат не изменится, если направления некоторых векторов e_i сменить на противоположные, поэтому при доказательстве равенства (*) для  a = e₁  можно считать, что векторы  e₂, ..., e₆ направлены в вершины икосаэдра, ближайшие к той, куда направлен вектор e₁. Но тогда в силу симметрии  (e₁, e₂) = ... = (e₁, e₆),  а  e₂ + ... + e₆ = βe₁,  где β ни от чего не зависит.

  Аналогично доказывается равенство (*) для  a = e₂  и  a = e₃.

Ответ задачи отсутствует