Олимпиадная задача по стереометрии: развёртка многогранника в треугольник (10–11 класс)

  Подходящие выпуклые многогранники можно свернуть, например, из треугольника ABC со сторонами  AB = AC = 3  и  BC = 2.  Разделим стороны на отрезки длины 1:  BM = MK = KA = CN = NL = LA = BP = PC = 1  (рис. слева).

  Если провести сгибы вдоль линий KL и MN, совместив при этом точки A и P в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как высота AP треугольника ABC перпендикулярна отрезкам KL и MN и делится ими на три равные части), а затем – сгибы вдоль линий MP и NP, совместив при этом точки B и K, C и L, то при этом образуется четырёхугольная пирамида SKLNM, удовлетворяющая условию задачи (рис. справа).   Если же провести сгибы вдоль линий MC и KC, совместив при этом точки B и L в некоторой точке S, расположенной в пространстве (это можно сделать, так как сумма любых двух из трёх углов BCM, MCK и KCL всегда больше третьего из них, а  BC = LC),  а затем – сгиб вдоль линии KL, совместив при этом точки A и M, то образуется треугольная пирамида SKMC, противоположные рёбра которой попарно различны (рис. снизу).

Найдётся.