Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Пусть <i>M</i> и <i>I</i> – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а <i>r</i> – радиус вписанной в него окружности.

Докажите, что  <i>MI</i> = ^<i>r</i>/₃  тогда и только тогда, когда прямая <i>MI</i> перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Ребёнок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращённых к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные буквы на данной развёртке кубика и определите, как зовут ребёнка. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116866/problem_116866_img_2.gif"></div>

На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что  <i>AD</i> = &frac13; <i>AC,  CE</i> = &frac13; <i>CE</i>.  Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.

На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?

Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Его противоположные стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Его диагонали пересекаются в точке <i>L</i>. Известно, что прямая <i>KL</i> проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.

На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.

Найдите наибольший объём пирамиды.

На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?

Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>угол<i> ADB </i>равен2<i> arcsin <img src="/storage/problem-media/111305/problem_111305_img_2.gif"> </i>, а сторона основания<i> ABC </i>равна 2. Точки<i> K </i>,<i> M </i>и<i> N </i>– середины отрезков<i> AB </i>,<i> DK </i>,<i> AC </i>соответственно. Точка<i> E </i>лежит на отрезке<i> CM </i>и3<i>ME=CE </i>. Через точку<i> E </i>проходит плоскость<i> Π </i>перпендикулярно отрезку<i> CM </i>. В каком отношении плоскость<i> Π </i>делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью<i> Π </i>и расстояние...

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>угол<i> ADC </i>равен2<i> arcsin <img src="/storage/problem-media/111304/problem_111304_img_2.gif"> </i>, а сторона основания<i> ABC </i>равна 2. Точки<i> K </i>,<i> M </i>и<i> N </i>– середины рёбер<i> AB </i>,<i> CD </i>,<i> AC </i>соответственно. Точка<i> E </i>лежит на отрезке<i> KM </i>и3<i>ME=KE </i>. Через точку<i> E </i>проходит плоскость<i> Π </i>перпендикулярно отрезку<i> KM </i>. В каком отношении плоскость<i> Π </i>делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью<i> Π </i>и расстояние от...

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>сторона основания<i> ABC </i>равна 12, высота пирамиды<i> DO=<img src="/storage/problem-media/111303/problem_111303_img_2.gif"> </i>. В треугольнике<i> ABD </i>проведена биссектриса<i> BA</i>1, а в треугольнике<i> BCD </i>проведены медиана<i> BC</i>1и высота<i> CB</i>1. Найдите:

а) объём пирамиды<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D </i>;

б) площадь проекции треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1на плоскость<i> ABC </i>.

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>сторона основания<i> ABC </i>равна 3, угол между основанием и боковой гранью равен<i> arccos <img src="/storage/problem-media/111302/problem_111302_img_2.gif"> </i>. В треугольнике<i> ABD </i>проведена биссектриса<i> BA</i>1, а в треугольнике<i> BCD </i>проведены медиана<i> BC</i>1и высота<i> CB</i>1. Найдите:

1. объём пирамиды<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D </i>;

2. площадь проекции треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1на плоскость<i> ABC </i>.

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>сторона основания<i> ABC </i>равна 6, угол между боковыми гранями равен<i> arccos <img src="/storage/problem-media/111301/problem_111301_img_2.gif"> </i>. В треугольнике<i> ABD </i>проведена биссектриса<i> BA</i>1, а в треугольнике<i> BCD </i>проведены медиана<i> BC</i>1и высота<i> CB</i>1. Найдите:

1. объём пирамиды<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D </i>;

2. площадь проекции треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1на плоскость<i> ABC </i>.

В правильной треугольной пирамиде<i> ABCD </i>сторона основания<i> ABC </i>равна 12,<i> <img src="/storage/problem-media/111300/problem_111300_img_2.gif"> ADB = </i>2<i> arctg <img src="/storage/problem-media/111300/problem_111300_img_3.gif"> </i>. В треугольнике<i> ABD </i>проведена биссектриса<i> BA</i>1, а в треугольнике<i> BCD </i>проведены медиана<i> BC</i>1и высота<i> CB</i>1. Найдите:

1. объём пирамиды<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D </i>;

2. площадь проекции треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1на плоскость<i> ABC </i>.

В шаре радиуса 9 через точку<i> S </i>проведены три равные хорды<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1так, что<i> AS = </i>4,<i> A</i>1<i>S = </i>8,<i> BS < B</i>1<i>S </i>,<i> CS < C</i>1<i>S </i>. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды<i> SABC </i>.

В шаре радиуса 7 через точку<i> S </i>проведены три равные хорды<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1так, что<i> AS = </i>8,<i> A</i>1<i>S = </i>3,<i> BS > B</i>1<i>S </i>,<i> CS > C</i>1<i>S </i>. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды<i> SABC </i>.