Олимпиадная задача по стереометрии: разрез пирамиды через точку E, 8-9 класс

Обозначим ADK = α , DCK = β , DKM = γ , KMC = ϕ , MKC = δ . Пусть DH – высота пирамиды (рис.1). Тогда

CK = = = , CH = CK = .

Из прямоугольных треугольников AKD и DHC находим, что

AD = = = 6, DK = = = ,

cos β = = = = .

Тогда

KM = = = ,

cos γ = cos DKM = = = ,

EM = KM = , KE = KM = .

cos ϕ = cos KMC = = = .

Тогда

tg ϕ = = = ,

tg γ = = = .

Пусть C1, A1, B1и Q – точки пересечения плоскости Π с прямыми DC , DA , DB и DK соответственно. Тогда C1Q KM . Из прямоугольного треугольника MEC1находим, что

MC1 = = = < 3 = MC.

Значит, точка C1принадлежит боковому ребру DC , а не его продолжению, и при этом

= = = .

Пусть плоскость Π пересекает плоскость основания ABC по некоторой прямой l . Тогда KE l , а т.к. прямая KC – ортогональная проекция наклонной KM на плоскость ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах KC l , значит, l || AB и прямая l параллельна плоскости ABD . Следовательно, проходящая через прямую l плоскость Π пересекается с плоскостью ABD по прямой, параллельной l , а значит, и прямой AB , т.е. A1B1 || AB .

Из прямоугольного треугольника KEQ находим, что

KQ = = = .

Следовательно,

= = = = =.

Из прямоугольных треугольников KEQ и MEC1находим, что

EQ = KE tg γ = · = ,

EC1 = ME tg ϕ = · = .

Поэтому

C1Q = EQ+EC1 =+=,

а т.к.

A1B1 = · AB = · 2 = ,

то

S_{Δ A}1B1C1= A1B1· C1Q = · · = .

По теореме косинусов

cos δ = cos MKC = = = .

Пусть T – середина CK (рис.2). Тогда NT – средняя линия треугольника ACK , поэтому NT || AB || A1B1. Значит, прямая NT параллельна плоскости Π и расстояние от точки N до плоскости Π равно расстоянию до этой плоскости от точки T . Если L – ортогональная проекция точки T на прямую QC1, то искомое расстояние равно длине отрезка TL .

Опустим перпендикуляр TP из точки T на прямую KM . Из прямоугольного треугольника KPT находим, что

KP = KT cos δ = · = .

Следовательно,

TL = PE = KE-KP = - = = .

= = , = , , .